三角不等式

当然可以。证明三角不等式 (Triangle Inequality) 有多种方法，这里将介绍最常用的两种证明方法（代数方法），并辅以其直观的几何解释。

口诀

Abstract

两数之和的绝对值小于两数绝对值和

对于任意实数 $x$ 和 $y$ ，三角不等式表述为：

|x + y| \leq |x| + |y|

用语言描述就是：两个数之和的绝对值，小于或等于这两个数绝对值的和。

这种方法的核心思想是，对于任何非负数 $A$ 和 $B$ ，不等式 $A \leq B$ 等价于 $A^2 \leq B^2$ 。因为绝对值总是非负的，所以我们可以比较 $|x+y|$ 和 $(|x|+|y|)$ 的平方。

比较双方的平方 我们需要证明：
$|x + y|^2 \leq (|x| + |y|)^2$
展开左边 根据绝对值的性质 $|a|^2 = a^2$ ，我们有：
$|x + y|^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
展开右边
$(|x| + |y|)^2 = |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2$
同样，根据 $|a|^2 = a^2$ 和 $|a||b|=|ab|$ ，上式可以写为：
$x^2 + 2|xy| + y^2$
比较展开后的结果 现在我们比较下面两个表达式：
- 左边： $x^2 + 2xy + y^2$
- 右边： $x^2 + 2|xy| + y^2$
由于 $x^2$ 和 $y^2$ 部分是相同的，我们只需要比较 $2xy$ 和 $2|xy|$ 。
关键步骤 根据绝对值的定义，对于任何实数 $a$ ，我们总是有 $a \leq |a|$ 。因此，可以确定：
$xy \leq |xy|$
两边同时乘以 2，得到 $2xy \leq 2|xy|$ 。
得出结论 因为 $xy \leq |xy|$ ，所以：
$x^2 + 2xy + y^2 \leq x^2 + 2|xy| + y^2$
这就证明了：
$|x + y|^2 \leq (|x| + |y|)^2$
由于两边都是非负数，对它们开平方根，不等号方向不变：
$|x + y| \leq |x| + |y|$

证毕。

等号成立当且仅当上面比较的关键步骤中等号成立，即 $xy = |xy|$ 。这也就是说 $xy \geq 0$ 。当 $x$ 和 $y$ 同号（都为正或都为负）或至少有一个为零时，等号成立。

这种方法虽然稍显繁琐，但非常直观，直接利用了绝对值的定义。

情况一： $x \geq 0$ 且 $y \geq 0$ 此时 $x+y \geq 0$ 。 $|x+y| = x+y$ 。 $|x| + |y| = x+y$ 。所以， $|x+y| = |x|+|y|$ 。不等式成立。
情况二： $x < 0$ 且 $y < 0$ 此时 $x+y < 0$ 。 $|x+y| = -(x+y) = -x - y$ 。 $|x| + |y| = (-x) + (-y) = -x - y$ 。所以， $|x+y| = |x|+|y|$ 。不等式成立。
情况三： $x$ 和 $y$ 异号 不妨设 $x > 0$ 且 $y < 0$ 。（ $x<0, y>0$ 的情况同理）此时 $|x| = x$ ， $|y| = -y$ 。所以 $|x|+|y| = x - y$ 。对于左边 $|x+y|$ ，有两种可能：
- 如果 $x+y \geq 0$ ： $|x+y| = x+y$ 。我们需要证明 $x+y \leq x-y$ 。这等价于 $y \leq -y$ ，即 $2y \leq 0$ ，也就是 $y \leq 0$ 。这与我们的假设 $y<0$ 一致。所以不等式成立。
- 如果 $x+y < 0$ ： $|x+y| = -(x+y) = -x-y$ 。我们需要证明 $-x-y \leq x-y$ 。这等价于 $-x \leq x$ ，即 $0 \leq 2x$ ，也就是 $x \geq 0$ 。这与我们的假设 $x>0$ 一致。所以不等式成立。

综上所述，在所有情况下，不等式 $|x + y| \leq |x| + |y|$ 都成立。

这个不等式被称为“三角”不等式，正是因为它在几何上有一个非常直观的解释。

想象在数轴上或二维平面上，我们有两个向量 $\vec{x}$ 和 $\vec{y}$ 。

这三个向量 $\vec{x}$ 、 $\vec{y}$ 和 $\vec{x}+\vec{y}$ 可以构成一个三角形。三条边的长度分别是 $|\vec{x}|$ 、 $|\vec{y}|$ 和 $|\vec{x}+\vec{y}|$ 。

根据**“三角形中任意两边之和大于第三边”**这一基本几何原理，我们自然得到：

|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|

那什么时候等号成立呢？当这个“三角形”被“压扁”成一条直线时，即向量 $\vec{x}$ 和 $\vec{y}$ 方向相同时，我们得到：

|\vec{x} + \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|

将这两种情况合并，我们就得到了在向量空间中的三角不等式： $|\vec{x} + \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}|$ 。实数的三角不等式可以看作是这个原理在一维（数轴）上的特例。