第一章 — 函数的连续性（§8~§10）

本节对应课本 §8 函数的连续性与间断点 + §9 连续函数的运算与初等函数的连续性 + §10 闭区间上连续函数的性质。

§8 函数的连续性与间断点

抽象

连续 $\iff$ 没有断裂，可以一笔画成

定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，如果满足：

\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

8.1 连续性的三个条件

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，必须同时满足：

有定义： $f(x_0)$ 存在（函数在 $x_0$ 点有定义）
有极限： $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在
相等： $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

注意

如果上述三个条件中至少有一个不满足，则 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点。

8.2 增量形式定义

用增量语言描述连续性

设 $\Delta x = x - x_0$ ， $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ 。则 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续 $\iff$ $\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$ 。

直观意思是：自变量变化很小时，函数值变化也很小——没有"跳跃"。

8.3 单侧连续性

左连续

如果 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$ ，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左连续。

右连续

如果 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ ，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处右连续。

Important

函数在 $x_0$ 处连续 $\iff$ 函数在 $x_0$ 处既左连续又右连续。

8.4 区间上的连续性

开区间 $(a,b)$ 上的连续性： $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内每一点都连续。
闭区间 $[a,b]$ 上的连续性： $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，且在 $a$ 处右连续、在 $b$ 处左连续。

8.5 间断点及其分类

间断点

如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点。

第一类间断点（左右极限都存在）

可去间断点：左右极限相等，但不等于 $f(x_0)$ 或 $f(x_0)$ 无定义（如 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ ）
跳跃间断点：左右极限存在但不相等（如分段函数在分段点处左右表达式不同）

第二类间断点（左右极限至少一个不存在）

无穷间断点： $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处（极限为 $\infty$ ）
振荡间断点： $f(x) = \sin\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处（来回振荡，极限不存在）

§9 连续函数的运算与初等函数的连续性

9.1 连续函数的运算性质

Tip

四则运算：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍在定义域内连续。
复合运算：若 $u = g(x)$ 在 $x_0$ 连续， $y = f(u)$ 在 $u_0 = g(x_0)$ 连续，则 $y = f[g(x)]$ 在 $x_0$ 连续。
反函数：若 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上单调且连续，则其反函数 $x = f^{-1}(y)$ 在对应区间上也单调且连续。

9.2 初等函数的连续性

重要结论

所有基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等）在其定义域内都是连续的。

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的初等函数，在其定义区间内都是连续的。

这个结论非常实用：求初等函数在其定义区间内某点的极限，直接代入即可。

§10 闭区间上连续函数的性质

这是连续函数最重要的应用结论，在方程求根、不等式证明中经常用到。

最值定理

若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一定能取得最大值和最小值。

有界性定理

若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。

（这是最值定理的直接推论：既有最大最小值，自然有界。）

介值定理（中间值定理）

若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续， $m \le f(x) \le M$ ，则对任意 $c \in [m,M]$ ，总存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f(\xi) = c$ 。

换句话说：连续函数可以取到最大值和最小值之间的一切值。

零点定理（根的存在定理）

若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a) \cdot f(b) < 0$ （端点异号），则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f(\xi) = 0$ 。

零点定理是介值定理的特例（取 $c = 0$ ），用于证明方程在区间内有根。

为什么必须是「闭区间」？

以零点定理为例： $f(x) = \frac{1}{x}$ 在开区间 $(0,1)$ 上连续且 $f(0^+)\cdot f(1) \to -\infty$ ，但它没有零点。闭区间的"闭"保证了端点的存在性。

10.1 例题分析

例题1：判断间断点类型

讨论 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1 \\ x+1, & x > 1 \end{cases}$ 在 $x = 1$ 处的连续性。

解：

$f(1) = 1^2 = 1$
$\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$
$\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x+1) = 2$
左右极限不等，极限不存在。

结论： $x = 1$ 是跳跃间断点（第一类间断点）。

例题2：可去间断点

讨论 $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

解：

$f(x)$ 在 $x = 0$ 处无定义
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ （重要极限）
极限存在但函数无定义

结论： $x = 0$ 是可去间断点。若补充定义 $f(0) = 1$ ，则函数在 $x = 0$ 处连续。

例题3：利用零点定理证明根的存在

证明方程 $x^3 - 4x^2 + 1 = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少有一个根。

解：令 $f(x) = x^3 - 4x^2 + 1$ 。

$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续（多项式函数）。计算：

f(0) = 1 > 0, \quad f(1) = 1 - 4 + 1 = -2 < 0

因为 $f(0) \cdot f(1) < 0$ ，由零点定理，至少存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得 $f(\xi) = 0$ 。

即方程在 $(0,1)$ 内至少有一个根。

返回第一章目录：高等数学(同济7版)