第一章 — 无穷小、无穷大及无穷小的比较（§4,§7）

本节对应课本 §4 无穷小与无穷大 + §7 无穷小的比较。

§4 无穷小与无穷大

4.1 无穷小

定义

若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ （或 $x \to \infty$ 时），则称 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$ （或 $x \to \infty$ ）时的无穷小。

重要澄清

无穷小是一个变量（趋于 0 的函数），不是某个很小的固定数。 $0$ 是唯一可以看作无穷小的常数。

无穷小与极限的关系

\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff f(x) = A + \alpha(x)

其中 $\alpha(x)$ 是 $x \to x_0$ 时的无穷小。

这个等价关系非常有用：函数 = 极限值 + 无穷小。

无穷小的运算性质

有限个无穷小的和仍是无穷小
有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小
常数与无穷小的乘积仍是无穷小
有限个无穷小的乘积仍是无穷小

4.2 无穷大

定义

若 $\forall M > 0$ ， $\exists \delta > 0$ ，当 $0 < |x-x_0| < \delta$ 时有 $|f(x)| > M$ ，则称 $x \to x_0$ 时 $f(x)$ 为无穷大，记作

\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty

无穷小与无穷大的关系

在自变量的同一变化过程中：

若 $f(x)$ 是无穷大，则 $\dfrac{1}{f(x)}$ 是无穷小。
若 $f(x)$ 是无穷小且 $f(x) \neq 0$ ，则 $\dfrac{1}{f(x)}$ 是无穷大。

§7 无穷小的比较

两个无穷小趋于 0 的速度可以不同。比较它们能帮助我们简化极限计算。

7.1 定义

高阶、低阶、同阶、等价

设 $\alpha, \beta$ 是同一过程的无穷小，且 $\alpha \neq 0$ ：

条件	结论	记法
$\displaystyle\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$	$\beta$ 是 $\alpha$ 的高阶无穷小	$\beta = o(\alpha)$
$\displaystyle\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$	$\beta$ 是 $\alpha$ 的低阶无穷小	—
$\displaystyle\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \neq 0$	$\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小	—
$\displaystyle\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$	$\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小	$\alpha \sim \beta$

o(\alpha)

的含义

$o(\alpha)$ 不是某个具体的量，而是表示"比 $\alpha$ 更高阶的无穷小"这个性质。例如 $x^2 = o(x)$ （当 $x \to 0$ ），因为 $\lim \frac{x^2}{x} = 0$ 。

7.2 等价无穷小代换定理

等价无穷小代换定理

设 $\alpha \sim \alpha'$ ， $\beta \sim \beta'$ ，且 $\displaystyle\lim \frac{\beta'}{\alpha'}$ 存在，则

\lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\beta'}{\alpha'}

求极限时，可以把乘积因子用等价无穷小替换掉，简化计算。

代换的注意事项

等价无穷小代换只能用于乘积因子，不能用于加减项！
例如 $\tan x - \sin x$ 中不能直接把 $\tan x$ 换成 $x$ ， $\sin x$ 换成 $x$ ，这会得到 $x - x = 0$ ，是错误的。

7.3 常用等价无穷小

当

x \to 0

时的常用等价无穷小

\begin{aligned} > \sin x &\sim x, & > \tan x &\sim x, & > \arcsin x &\sim x, & > \arctan x &\sim x \\[2pt] > 1 - \cos x &\sim \frac{1}{2}x^2, & > \ln(1+x) &\sim x, & > e^x - 1 &\sim x, & > (1+x)^\alpha - 1 &\sim \alpha x > \end{aligned}

记忆技巧：前四个是三角/反三角类（都 $\sim x$ ），后四个是指对幂类。

7.4 例题

例1：分段函数的极限

设 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ 2, & x = 0 \\ \sin x, & x > 0 \end{cases}$ ，讨论 $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ 。

解：

左极限： $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$
右极限： $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sin x = 0$
左右极限相等，故 $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ 。注意 $f(0)=2$ 与极限无关。

例2：重要极限

求 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}$ 。

解：

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x}{\frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5x} = \frac{3}{5}

例3：等价无穷小代换（加减时要小心）

求 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ 。

解：直接用等价无穷小代换会出错（ $\tan x - \sin x$ 是差，不能分别代换）。先变形：

\frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{\sin x(\frac{1}{\cos x} - 1)}{x^3} = \frac{\sin x(1-\cos x)}{x^3 \cos x}

代入 $\sin x \sim x$ ， $1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$ ：

\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \frac{x^2}{2}}{x^3 \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2\cos x} = \frac{1}{2}

例4：等价无穷小代换

求 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{\sin 3x}$ 。

解：当 $x \to 0$ 时， $\ln(1+2x) \sim 2x$ ， $\sin 3x \sim 3x$ ：

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}

继续阅读：§8~§10 函数的连续性