第一章 — 函数的极限、运算法则与存在准则（§3,§5,§6）

2025-09-09 00:00    #数学  

本节对应课本 §3 函数的极限 + §5 极限运算法则 + §6 极限存在准则与两个重要极限。

数列的极限讨论的是 n→∞n \to \infty 时 ana_n 的趋近行为。函数的极限讨论的是 xx 趋近于某个值（或无穷）时 f(x)f(x) 的趋近行为，比数列极限更丰富。

§3 函数的极限

3.1 导入：切线斜率问题

y=x2y = x^2 在 (1,1)(1,1) 处切线的斜率是多少？

在曲线上取点 (1,1)(1,1) 和邻近点 (x,x2)(x, x^2)，割线斜率为：

k(x)=x2−1x−1=(x−1)(x+1)x−1=x+1(x≠1) k(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 \quad (x \neq 1)

当 x→1x \to 1 时，k(x)→2k(x) \to 2。但 x=1x=1 时分母为 0，k(x)k(x) 无定义。函数在趋向某点时能有多接近某个值——这就是函数极限要精确描述的事情。

3.2 x→x0x \to x_0 时的极限

ε\varepsilon-δ\delta 定义

设函数 f(x)f(x) 在 x0x_0 的某去心邻域内有定义。如果存在常数 AA，使得：

∀ε>0, ∃δ>0, 当 0<∣x−x0∣<δ 时，恒有 ∣f(x)−A∣<ε\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \text{当}\ 0 < |x - x_0| < \delta\ \text{时，恒有}\ |f(x) - A| < \varepsilon

则称 AA 是 f(x)f(x) 当 x→x0x \to x_0 时的极限，记作

lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = A
理解要点
  • ε\varepsilon 是任给的误差，δ\delta 是因你而定的邻域半径。
  • 0<∣x−x0∣0 < |x-x_0| 意味着 x≠x0x \neq x_0——极限关心的是趋近过程，不关心函数在 x0x_0 点是否有定义。
  • 逻辑方向：先给 ε\varepsilon → 再找 δ\delta。δ\delta 可以随 ε\varepsilon 变化。

3.3 左极限与右极限

左极限

xx 从 x0x_0 的左侧趋近（x<x0x < x_0）：

lim⁡x→x0−f(x)=A或f(x0−)=A\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x_0^-) = A
右极限

xx 从 x0x_0 的右侧趋近（x>x0x > x_0）：

lim⁡x→x0+f(x)=A或f(x0+)=A\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x_0^+) = A
Important

lim⁡x→x0f(x)=A  ⟺  lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)=A\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A

函数极限存在   ⟺  \iff 左右极限都存在且相等。

3.4 x→∞x \to \infty 时的极限

Idea

如果 ∀ε>0\forall \varepsilon > 0，∃X>0\exists X > 0，当 ∣x∣>X|x| > X 时有 ∣f(x)−A∣<ε|f(x) - A| < \varepsilon，则 lim⁡x→∞f(x)=A\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = A。

例如 lim⁡x→∞1x=0\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0。

3.5 函数极限的性质

这些性质与数列极限类似，区别在于作用的范围是"局部"（x0x_0 的某去心邻域）。

唯一性

若 lim⁡x→x0f(x)\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) 存在，则极限唯一。

局部有界性

若 lim⁡x→x0f(x)=A\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = A，则存在 δ>0\delta > 0，使得 f(x)f(x) 在 (x0−δ,x0+δ)∖{x0}(x_0-\delta, x_0+\delta) \setminus \{x_0\} 内有界。

局部保号性

若 lim⁡x→x0f(x)=A>0\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0，则在 x0x_0 附近 f(x)>0f(x) > 0（同号）。 反之，若在 x0x_0 附近 f(x)≥0f(x) \ge 0 且极限存在，则 A≥0A \ge 0。

函数极限与数列极限的关系（海涅定理/归结原则）

lim⁡x→x0f(x)=A  ⟺  \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff 对任意以 x0x_0 为极限的数列 {xn} (xn≠x0)\{x_n\}\ (x_n \neq x_0)，都有 lim⁡n→∞f(xn)=A\displaystyle\lim_{n\to\infty} f(x_n) = A。

这个定理把函数极限化归为数列极限。用处：证明函数极限不存在——找两个趋于 x0x_0 的数列，f(xn)f(x_n) 趋于不同值。

§5 极限运算法则

四则运算法则

如果 lim⁡an=A\displaystyle\lim a_n = A，lim⁡bn=B\displaystyle\lim b_n = B（数列或函数均适用），则：

>>lim⁡(an±bn)=A±B>lim⁡(an⋅bn)=A⋅B>lim⁡anbn=AB(bn≠0, B≠0)>> > \begin{align} > \lim(a_n \pm b_n) &= A \pm B \tag{1}\\[4pt] > \lim(a_n \cdot b_n) &= A \cdot B \tag{2}\\[4pt] > \lim\frac{a_n}{b_n} &= \frac{A}{B} \quad (b_n \neq 0,\ B \neq 0) \tag{3} > \end{align} >
注意
  1. 法则可推广到有限个（不能推广到无限个）。
  2. 前提：各项极限必须存在。
  3. 分母极限不能为零。
  4. 遇到 00\frac{0}{0} 或 ∞∞\frac{\infty}{\infty} 型，需要先变形（通分、有理化、变量代换等）。

5.1 复合函数极限运算法则

Important

设 lim⁡x→x0g(x)=u0\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = u_0，lim⁡u→u0f(u)=A\displaystyle\lim_{u \to u_0} f(u) = A，且在 x0x_0 的某去心邻域内 g(x)≠u0g(x) \neq u_0，则

lim⁡x→x0f[g(x)]=A\lim_{x \to x_0} f[g(x)] = A

5.2 无穷等比数列的求和（应用）

Idea

等比数列 {aqn−1}\{aq^{n-1}\} 的前 nn 项和：

Sn=a+aq+aq2+⋯+aqn−1S_n = a + aq + aq^2 + \cdots + aq^{n-1}

推导：

Sn=a+aq+aq2+⋯+aqn−1qSn=aq+aq2+⋯+aqn−1+aqn \begin{aligned} S_n &= a + aq + aq^2 + \cdots + aq^{n-1} \\ q S_n &= aq + aq^2 + \cdots + aq^{n-1} + aq^n \end{aligned}

两式相减得 (1−q)Sn=a−aqn(1-q)S_n = a - aq^n，故：

Sn=a(1−qn)1−q S_n = \frac{a(1-q^n)}{1-q}
无穷等比级数的和（∣q∣<1|q| < 1）

当 ∣q∣<1|q| < 1 时，lim⁡n→∞qn=0\displaystyle\lim_{n\to\infty} q^n = 0，所以：

lim⁡n→∞Sn=a1−q\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{a}{1-q}

当 ∣q∣≥1|q| \ge 1 时级数发散。

§6 极限存在准则

6.1 夹逼定理

夹逼定理（数列/函数均适用）

若 {an}\{a_n\}、{bn}\{b_n\}、{cn}\{c_n\} 满足：

  1. an≤bn≤cna_n \le b_n \le c_n（从某项起）
  2. lim⁡an=lim⁡cn=A\displaystyle\lim a_n = \lim c_n = A

则 lim⁡bn=A\displaystyle\lim b_n = A。

函数的夹逼定理类似：g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \le f(x) \le h(x) 且 lim⁡g=lim⁡h=A\lim g = \lim h = A，则 lim⁡f=A\lim f = A。

核心思路：两边夹住，中间跑不掉。是求极限的重要工具。

6.2 单调有界定理

Important

单调有界数列必有极限。

  • 单调递增且有上界 → 极限为上确界
  • 单调递减且有下界 → 极限为下确界

这个定理只告诉我们极限存在，但不保证容易算出来。下面用它来证明第二个重要极限。

6.3 两个重要极限

lim⁡x→0sin⁡xx=1lim⁡x→∞(1+1x)x=e \begin{align} &\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \tag{I}\\[6pt] &\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \tag{II} \end{align}

(I) lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

证明思路（单位圆 + 夹逼）

在单位圆中，当 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} 时有：

sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x

除以 sin⁡x\sin x 得：1<xsin⁡x<1cos⁡x1 < \dfrac{x}{\sin x} < \dfrac{1}{\cos x} 取倒数：cos⁡x<sin⁡xx<1\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1 由夹逼定理，x→0+x \to 0^+ 时极限为 1。x→0−x \to 0^- 同理。

推论

lim⁡x→0tan⁡xx=1\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1，lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

(II) lim⁡x→∞(1+1x)x=e\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e

证明思路（单调有界定理）
  • 考虑数列 xn=(1+1n)nx_n = (1+\frac{1}{n})^n，展开后用二项式定理。
  • 证 xnx_n 单调递增：xn<xn+1x_n < x_{n+1}（展开对比）
  • 证 xnx_n 有上界：xn<3x_n < 3
  • 由单调有界定理，lim⁡xn\lim x_n 存在，定义为 e≈2.71828⋯e \approx 2.71828\cdots
  • 再推广到 x→∞x \to \infty（实变量）的情形，用夹逼定理。
等价形式

lim⁡x→0(1+x)1x=e\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e

来自: https://www.geogebra.org/m/h6DxENYh

继续阅读：§4 + §7 无穷小与无穷大