第一章 — 映射与函数、数列的极限（§1~§2）

2025-09-09 00:00    #数学  

本节对应课本 §1 映射与函数 + §2 数列的极限。

§1 映射与函数

函数是整个高等数学研究的对象。搞清什么是函数、定义域、反函数、基本初等函数，是后面一切的基础。

1.1 映射的概念

映射

设 X,YX, Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 ff，使得对 XX 中每个元素 xx，在 YY 中都有唯一确定的元素 yy 与之对应，则称 ff 为从 XX 到 YY 的映射，记作

f:X→Yf: X \to Y
函数是实数集上的映射

函数是一种特殊的映射：定义域 D⊂RD \subset \mathbb{R}，值域 Rf⊂RR_f \subset \mathbb{R}。 函数的两要素：定义域 + 对应法则。两个函数相等当且仅当定义域和对应法则都相同。

1.2 函数的几种特性

Tip
  • 有界性：∣f(x)∣≤M|f(x)| \le M 对所有 x∈Dx \in D 成立。
  • 单调性：x1<x2⇒f(x1)≤f(x2)x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)（增）或 ≥\ge（减）。
  • 奇偶性：f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)（奇）；f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)（偶）。奇函数关于原点对称，偶函数关于 yy 轴对称。
  • 周期性：存在 T>0T > 0 使 f(x+T)=f(x)f(x+T) = f(x) 对所有 xx 成立。最小的正 TT 叫最小正周期。

1.3 反函数与复合函数

反函数

若函数 y=f(x)y = f(x) 在定义域上是单射（一一对应），则存在反函数 x=f−1(y)x = f^{-1}(y)。 习惯上写作 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)。y=f(x)y = f(x) 与 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 的图像关于直线 y=xy = x 对称。

复合函数

设 y=f(u)y = f(u) 的定义域为 DfD_f，u=g(x)u = g(x) 的值域为 RgR_g。若 Rg∩Df≠∅R_g \cap D_f \neq \varnothing，则可定义复合函数：

y=f[g(x)],x∈D={x∣g(x)∈Df}y = f[g(x)], \quad x \in D = \{x \mid g(x) \in D_f\}

1.4 基本初等函数与初等函数

六类基本初等函数
  1. 常数函数：y=cy = c
  2. 幂函数：y=xμ (μ∈R)y = x^\mu\ (\mu \in \mathbb{R})
  3. 指数函数：y=ax (a>0,a≠1)y = a^x\ (a > 0, a \neq 1)
  4. 对数函数：y=log⁡ax (a>0,a≠1)y = \log_a x\ (a > 0, a \neq 1)
  5. 三角函数：sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x, tan⁡x\tan x, cot⁡x\cot x, sec⁡x\sec x, csc⁡x\csc x
  6. 反三角函数：arcsin⁡x\arcsin x, arccos⁡x\arccos x, arctan⁡x\arctan x, arccot⁡x\operatorname{arccot} x
初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的、能用一个式子表示的函数，称为初等函数。

大多数我们见到的函数都是初等函数。分段函数一般不是初等函数（但绝对值 ∣x∣=x2|x| = \sqrt{x^2} 是）。

§2 数列的极限

极限是整个微积分的基石。要理解求导、积分，首先得把"无限接近"这个概念说清楚。

2.1 数列极限的定义

抽象理解

极限   ⟺  \iff 无限的接近，但"无限的接近"不等于"相等"。

数列极限的 ε\varepsilon-NN 定义

对于数列 {an}\{a_n\}，如果存在常数 AA，使得：任意给定 ε>0\varepsilon > 0，总存在正整数 NN，当 n>Nn > N 时，恒有

∣an−A∣<ε|a_n - A| < \varepsilon

则称 AA 为数列 {an}\{a_n\} 的极限，记作

lim⁡n→∞an=A\lim_{n\to\infty} a_n = A

也称数列 {an}\{a_n\} 收敛于 AA。如果不存在这样的 AA，则称数列发散。

怎样理解 ε\varepsilon-NN
  • ε\varepsilon 是任意给定的误差容限，想多小就多小。
  • NN 是分界线：n>Nn > N 之后的所有项都落在 (A−ε,A+ε)(A-\varepsilon, A+\varepsilon) 内。
  • 核心逻辑：ε\varepsilon 任意小 → 总能找到对应的 NN。

简单记：任意 ε>0\varepsilon > 0，存在 N∈N+N \in \mathbb{N}^+，使得 n>N⇒∣an−A∣<εn > N \Rightarrow |a_n - A| < \varepsilon。

2.2 几何解释

数列极限的几何意义：n>Nn > N 之后的所有 ana_n 都落在以 AA 为中心、ε\varepsilon 为半径的开区间 (A−ε,A+ε)(A-\varepsilon, A+\varepsilon) 内。也就是说，数列的项最终全部挤在 AA 的任意小邻域里。

2.3 常用结论

Important
  • lim⁡n→∞1n=0\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0
  • lim⁡n→∞qn=0 (∣q∣<1)\displaystyle\lim_{n\to\infty} q^n = 0\ (|q| < 1)
  • lim⁡n→∞1nk=0 (k>0)\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^k} = 0\ (k > 0)
  • lim⁡n→∞an=1 (a>0)\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1\ (a > 0)

2.4 收敛数列的性质

性质可以用定义严格证明，这里先列结论——唯一性的证明思路见下方折叠。

性质1：极限的唯一性

收敛数列的极限是唯一的。如果 lim⁡an=A\lim a_n = A 且 lim⁡an=B\lim a_n = B，则 A=BA = B。

证明思路（反证法）

假设 A≠BA \neq B，取 ε=∣A−B∣2\varepsilon = \frac{|A-B|}{2}，由定义存在 N1,N2N_1, N_2，当 n>max⁡(N1,N2)n > \max(N_1, N_2) 时： ∣an−A∣<ε|a_n-A| < \varepsilon 且 ∣an−B∣<ε|a_n-B| < \varepsilon， 则 ∣A−B∣≤∣an−A∣+∣an−B∣<2ε=∣A−B∣|A-B| \le |a_n-A| + |a_n-B| < 2\varepsilon = |A-B|，矛盾。

性质2：收敛数列的有界性

收敛数列必有界。存在 M>0M > 0 使得 ∣an∣≤M|a_n| \le M 对所有 nn 成立。

性质3：收敛数列的保号性

若 lim⁡an=A>0\lim a_n = A > 0（或 A<0A < 0），则当 nn 充分大时，ana_n 与 AA 同号。

性质4：收敛数列与子列

数列 {an}\{a_n\} 收敛于 AA   ⟺  \iff 它的任意子列都收敛于 AA。

推论：如果能找到两个子列收敛于不同极限，原数列一定发散。

继续阅读：§3 函数的极限 + §5~§6 极限运算法则与存在准则