第一章

2025-09-09 00:00

1 线性方程组

1.1 相关定义

  1. 线性方程
  2. 线性方程组
  3. 解集
  4. 线性方程组等价的定义: 解的集合 (解集) 相等
  5. 相容 - 有解,不相容
  6. 系数矩阵: 方程组中所有系数组成的矩阵
  7. 增广矩阵: 系数矩阵 + 常数项组成的矩阵
  8. 解方程组的一般方法:
    1. 基本思路: 把方程组用一个更容易解的等价方程组代替
    2. 消去未知数 (消元法)
    3. 三种基本变换
      1. 交换两个方程的位置
      2. 用一个方程减去另一个方程的倍数
      3. 用一个非零常数乘以一个方程
      4. 显然，这三种变换，每一次变换它的都会得到一个等价方程组(这里就不证明了)
  9. 初等行变换

  10. 线性方程组的两个基本问题
    1. 方程组是否相容，即它是否至少有一个解 (有解)？
    2. 若它有解，它是否只有一个解，即解是否唯一？

2 行化简与阶梯型矩阵

  1. 非零行
  2. 非零行的先导元素
行阶梯形矩阵定义

定义一个矩阵称为阶梯形（或行阶梯形），若它有以下三个性质：

  1. 每一非零行都在每一零行之上
  2. 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边
  3. 某一先导元素所在列下方元素都是零，

若一个阶梯形矩阵还满足以下性质，则称它为简化阶梯形（或简化行阶梯形） 4. 每一非零行的先导元素是 11 5. 每一先导元素 11 是该元素所在列的唯一非零元素

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21. 任何非零矩阵都可以行化简(即使用初等行变化)变为阶梯形矩阵
32. 一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯型矩阵

2.1 定理 1: 简化阶梯形矩阵的唯一性

  1. 基本变量 (先导变量)
  2. 自由变量

2.2 定理 2: 解的存在于维一性定理

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