1.3 向量方程

2026-09-06 00:00    #读书笔记  

向量

Rn\mathbb{R}^n 中的向量是一个 n×1n \times 1 的列矩阵：

v=[v1v2⋮vn],v1,…,vn∈R \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}, \quad v_1,\dots,v_n \in \mathbb{R}

R2\mathbb{R}^2 可理解为平面上的点，R3\mathbb{R}^3 为空间中的点。向量与几何点一一对应。

向量运算

加法（对应分量相加）、标量乘法（每个分量乘以同一个数）：

[1−2]+[25]=[33],2⋅[1−2]=[2−4] \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}, \qquad 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \end{bmatrix}

几何解释：加法 = 平行四边形法则；标量乘 = 沿直线方向拉伸/压缩。

向量的代数性质

对任意 u,v,w∈Rn\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n 和标量 c,d∈Rc,d \in \mathbb{R}：

性质
u+v=v+u\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}加法交换律
(u+v)+w=u+(v+w)(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})加法结合律
u+0=u\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u}零向量
u+(−u)=0\mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0}负向量
c(u+v)=cu+cvc(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c\mathbf{u} + c\mathbf{v}标量分配律
(c+d)u=cu+du(c + d)\mathbf{u} = c\mathbf{u} + d\mathbf{u}标量分配律
c(du)=(cd)uc(d\mathbf{u}) = (cd)\mathbf{u}标量结合律
1u=u1\mathbf{u} = \mathbf{u}乘法单位元

这些性质和"数"的运算完全一样，意味着在做向量运算时可以放心地"像数一样算"。

平行四边形法则

向量 u\mathbf{u} 和 v\mathbf{v} 相加：将 v\mathbf{v} 的起点平移到 u\mathbf{u} 的终点，结果就是从 u\mathbf{u} 起点到 v\mathbf{v} 终点的向量。

线性组合

给定向量 v1,…,vp∈Rn\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p \in \mathbb{R}^n 和标量（权）c1,…,cp∈Rc_1,\dots,c_p \in \mathbb{R}，称

y=c1v1+c2v2+⋯+cpvp \mathbf{y} = c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_p \mathbf{v}_p

为 v1,…,vp\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p 的线性组合，cic_i 称为权重。

Example

设 v1=[102], v2=[01−1]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix},\ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}，权为 33 和 −2-2，则

>3v1−2v2=[306]+[0−22]=[3−28]> > 3\mathbf{v}_1 - 2\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 8 \end{bmatrix} >

向量方程与线性方程组

将线性方程组写成向量方程：

x1a1+x2a2+⋯+xnan=b x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + \cdots + x_n \mathbf{a}_n = \mathbf{b}

其中 ai\mathbf{a}_i 是系数矩阵的列，b\mathbf{b} 是常数向量。

等价性

向量方程 x1a1+⋯+xnan=bx_1\mathbf{a}_1 + \cdots + x_n \mathbf{a}_n = \mathbf{b} 与增广矩阵为 [a1  a2  ⋯  an∣b][\mathbf{a}_1\; \mathbf{a}_2\; \cdots\; \mathbf{a}_n \mid \mathbf{b}] 的线性方程组有完全相同的解集。

这意味着 §1.1 中的行化简方法可以直接用来判断 b\mathbf{b} 是否是一个线性组合的问题。

张成空间（Span）

给定 v1,…,vp∈Rn\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p \in \mathbb{R}^n，它们的所有线性组合构成的集合称为由这些向量张成（生成）的子空间，记作 Span⁡{v1,…,vp}\operatorname{Span}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\}：

Span⁡{v1,…,vp}={c1v1+⋯+cpvp∣ci∈R} \operatorname{Span}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\} = \{ c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_p\mathbf{v}_p \mid c_i \in \mathbb{R} \}

也就等价于：b∈Span⁡{v1,…,vp}\mathbf{b} \in \operatorname{Span}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\} 当且仅当 [v1  ⋯  vp∣b][\mathbf{v}_1\; \cdots\; \mathbf{v}_p \mid \mathbf{b}] 对应的方程组有解。

Span 的几何意义

情况几何对象
Span⁡{v}, v≠0\operatorname{Span}\{\mathbf{v}\},\ \mathbf{v} \neq \mathbf{0}过原点的一条直线
Span⁡{u,v}, u≠cv\operatorname{Span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\},\ \mathbf{u} \neq c\mathbf{v}过原点的一个平面
Span⁡{u,v}, u=cv\operatorname{Span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\},\ \mathbf{u} = c\mathbf{v}退化为一条直线
Span⁡{u,v,w}\operatorname{Span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\}（不共面）整个 R3\mathbb{R}^3
直觉

Span 就是一组向量通过线性组合能"到达"的所有点。一条向量扫出一条线，两条不共线的向量扫出一个平面，三条不共面的向量填满整个三维空间。

回到两个基本问题

把§1.1的两个问题用向量语言重写：

x1a1+x2a2+⋯+xnan=b x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n = \mathbf{b}

写出增广矩阵 [a1  ⋯  an∣b][\mathbf{a}_1\; \cdots\; \mathbf{a}_n \mid \mathbf{b}]，行化简后即可回答这两个问题——向量方程和矩阵方程在计算上完全等价。