1.2 行化简与阶梯型矩阵

2025-09-09 00:00    #读书笔记  
  1. 非零行
  2. 非零行的先导元素
行阶梯形矩阵定义

定义一个矩阵称为阶梯形（或行阶梯形），若它有以下三个性质：

  1. 每一非零行都在每一零行之上
  2. 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边
  3. 某一先导元素所在列下方元素都是零，

若一个阶梯形矩阵还满足以下性质，则称它为简化阶梯形（或简化行阶梯形） 4. 每一非零行的先导元素是 11 5. 每一先导元素 11 是该元素所在列的唯一非零元素

行化简算法（高斯消元，4+1 步）

前向阶段（化阶梯形）：

  1. 从最左边的非零列开始——这是主元列，主元位置在最上方
  2. 在主元列中选一个非零元素作为主元，必要时交换行使主元到位
  3. 用倍加变换将主元下方的所有元素消为零
  4. 遮盖包含当前主元的行及其上方的所有行，对剩下的子矩阵重复步骤 1-3，直到没有非零行可处理

后向阶段（化简化阶梯形）：

  1. 从最右边的主元开始，向左向上，将每个主元上方的元素消为零，并将主元缩放为 11
记忆

前向 = 自上而下消下方；后向 = 自下而上消上方 + 缩放为 1。

行化简过程示例

以 §1.1 的增广矩阵为例，演示从原矩阵到简化阶梯形的完整流程。

前向阶段（化阶梯形）：从上到下、从左到右，用主元消去下方的非零元。

[1−21002−88−459−9]→R3+4R1[1−21002−880−313−9]→R2⋅12[1−21001−440−313−9]→R3+3R2[1−21001−440013] \begin{aligned} &\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ -4 & 5 & 9 & -9 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 + 4R_1} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 0 & -3 & 13 & -9 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 \cdot \frac{1}{2}} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & -3 & 13 & -9 \end{bmatrix} \\ &\xrightarrow{R_3 + 3R_2} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned}

此时已是阶梯形（满足性质 1-3）。

后向阶段（化简化阶梯形）：从最下面的主元开始，往上消去上方元素。

→R2+4R3R1−R3[1−20−3010160013]→R1+2R2[10029010160013] \xrightarrow[R_2 + 4R_3]{R_1 - R_3} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 16 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 + 2R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 29 \\ 0 & 1 & 0 & 16 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}

得到简化阶梯形，可直接读出解：

{x1=29x2=16x3=3唯一解。 \begin{cases} x_1 = 29 \\ x_2 = 16 \\ x_3 = 3 \end{cases} \quad\text{唯一解。}

image.png

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21. 任何非零矩阵都可以行化简(即使用初等行变化)变为阶梯形矩阵
32. 一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯型矩阵

主元位置与自由变量

行化简后，每行先导元素所在的位置叫主元位置（pivot position），对应的列叫主元列，对应的变量是基本变量。其余变量是自由变量。

自由变量的个数直接决定解的个数：

自由变量个数解的情况
0唯一解
⩾1\geqslant 1无穷多解（自由变量可取任意值）

举例：简化阶梯形

[10−5101140000] \begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

主元在第 1、2 列 → x1,x2x_1, x_2 是基本变量，x3x_3 是自由变量。解为：

{x1=1+5x3x2=4−x3x3 自由 \begin{cases} x_1 = 1 + 5x_3 \\ x_2 = 4 - x_3 \\ x_3 \text{ 自由} \end{cases}

定理 1：简化阶梯形矩阵的唯一性

  1. 基本变量 (先导变量)
  2. 自由变量

定理 2：解的存在与唯一性定理

image.png

定理 2 的实质

化简为阶梯形后，看最右边一列是否是主元列：

  • 是 → 存在形如 [0  0  ⋯  0  ∣  b][0\;0\;\cdots\;0\;|\;b] 的行（b≠0b \neq 0），即矛盾方程，无解
  • 否 → 有解，再看自由变量个数：
    • 无自由变量 → 唯一解
    • 有自由变量 → 无穷多解