1.1 线性方程组

2025-09-09 00:00    #读书笔记  

相关定义

  1. 线性方程
  2. 线性方程组
  3. 解集
  4. 线性方程组等价的定义: 解的集合 (解集) 相等
  5. 相容 - 有解,不相容
  6. 系数矩阵: 方程组中所有系数组成的矩阵
  7. 增广矩阵: 系数矩阵 + 常数项组成的矩阵
  8. 解方程组的一般方法:
    1. 基本思路: 把方程组用一个更容易解的等价方程组代替
    2. 消去未知数 (消元法)
    3. 三种基本变换
      1. 交换两个方程的位置
      2. 用一个方程减去另一个方程的倍数
      3. 用一个非零常数乘以一个方程
      4. 显然，这三种变换，每一次变换它的都会得到一个等价方程组(这里就不证明了)
  9. 初等行变换

  10. 线性方程组的两个基本问题
    1. 方程组是否相容，即它是否至少有一个解 (有解)？
    2. 若它有解，它是否只有一个解，即解是否唯一？

几何视角

两个方程、两个未知数，每个方程是平面上的一条直线：

三个方程、三个未知数则是三个平面的交——可能性类似但更复杂（唯一交点、无公共点、交于一条线、三个平面重合等）。

Important

线性方程组的解对应几何对象的交集。线性代数的一大主题就是将几何直觉代数化——用矩阵和向量来精确描述这些空间关系。

例子：从方程组到增广矩阵

把具体方程组写成矩阵形式，是消元法的起点：

{x1−2x2+x3=02x2−8x3=8−4x1+5x2+9x3=−9⇝[1−21002−88−459−9] \begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_2 - 8x_3 = 8 \\ -4x_1 + 5x_2 + 9x_3 = -9 \end{cases} \quad\rightsquigarrow\quad \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ -4 & 5 & 9 & -9 \end{bmatrix}

这里左边是系数矩阵，右边加一列常数项就是增广矩阵。之后的消元都在增广矩阵上进行，不再直接写方程。

两个基本问题的决策树

1有解吗？（相容性）
2├─ 否 → 无解（不相容）
3└─ 是 → 解唯一吗？
4         ├─ 是 → 唯一解
5         └─ 否 → 无穷多解
Important

这两个问题贯穿全书。每学一个新概念——向量方程、矩阵方程、线性无关、线性变换——最终都要回到这两个问题：“解是否存在？解是否唯一？”