第一讲极限和连续

1. 数列极限的定义

抽象,形象化的说

极限 <=> 无限的接近

定义

定义对于一个无穷数列 $\{a_{n}\}$ ，如果存在一个常数 $A$ ，无论预先指定多么小的正数 $\varepsilon$ ，都能在数列中找到一项 $a_{N}$ ，使得这一项后面所有的项与 $A$ 的差的绝对值都小于 $\varepsilon$ （即当 $n>N$ 时， $|a_{n}-A|<\varepsilon$ 恒成立），就把常数 $A$ 叫做数列{ $a_{n}$ }的极限，记作

\lim_{n\to\infty}a_{n}=A.

\varepsilon-N

语言

上述定义可以简述为任意给定 $\varepsilon>0$ ，如果总存在自然数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时，不等式 $|a_{n}-A|<\varepsilon$ 恒成立，就说数列{ $a_{n}$ }的极限是 $A$ 。这个定义还可以用记号表示为

\begin{aligned} &|a_{n}-A|<\varepsilon \\ &\nwarrow \qquad \swarrow \\ & \quad n>N \end{aligned}

2. 极限的四则运算

信息

运用法则时应注意之点，对数列和函数极限是一样的．以下是数列极限的四则运算法则：如果 $\lim_{n\to\infty}a_n=A$ , $\lim_{n\to\infty}b_n=B$ , 那么．

\begin{align} &\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=A\pm B \tag 1 \\ &\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=A\cdot B \tag 2 \\ &\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B} (b_n\neq 0,\ B\neq 0) \tag 3 \end{align}

在使用它们时，要特别注意各个法则成立的条件．

法则(1) , (2) , (3)可以推广到有限个数列的情形．
法则(1) , (2) , (3) $a_n,b_n$ 的极限必须存在
在运用法则(3)时，必须注意分母的极限不能为零．

3. 无穷等比数列的各项和

无穷等比数列的和

S_n =

\begin{align} s_n = a + aq + aq^2 + \cdots + aq^{n-1} \tag 1 \\ q\times s_n = aq + aq^2 + \cdots + aq^{n} \tag 2 \\ \end{align}

\begin{aligned} (q-1)s_n &= aq^{n} - a \\ s_n &= \frac{a(q^{n} -1)}{q-1} = \frac{a(1 - q^{n} )}{1-q} \end{aligned}

于是得到

\lim\limits_{n \to \infty} = \frac{a}{1-q} (1-\lim\limits_{n\to \infty} q^n)

如果 $\left| q \right| < 0$

\lim\limits_{n \to \infty} = \frac{a}{1-q} (1-\lim\limits_{n\to \infty} q^n) = \frac{a}{1-q}

4. 两个重要极限

\begin{align} &\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \tag 1 \\ &\lim\limits_{x\to \infty}(1+ \frac{1}{x})^x \tag 2 \end{align}

来自: https://www.geogebra.org/m/h6DxENYh

5. 函数的连续性

抽象

连续 <=> 没有断裂，可以一笔画成

定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，如果满足以下条件：

\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

5.1 连续性的三个条件

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，必须同时满足以下三个条件：

有定义： $f(x_0)$ 存在（函数在 $x_0$ 点有定义）
有极限： $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在
相等： $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

注意

如果上述三个条件中至少有一个不满足，则函数在点 $x_0$ 处不连续，称 $x_0$ 为函数的间断点。

5.2 增量形式定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，如果当自变量的增量 $\Delta x$ 趋于零时，对应的函数增量 $\Delta y$ 也趋于零，即：

\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0

则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

5.3 单侧连续性

左连续

如果 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处左连续。

右连续

如果 $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处右连续。

重要结论

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续的充分必要条件是：函数在该点既左连续又右连续。

5.4 区间上的连续性

开区间 $(a,b)$ 上的连续性：如果函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内每一点都连续，则称 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续。
闭区间 $[a,b]$ 上的连续性：如果函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内连续，且在左端点 $a$ 处右连续，在右端点 $b$ 处左连续，则称 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。

5.5 连续函数的性质

连续函数的性质

四则运算性质：如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也在点 $x_0$ 处连续。
复合函数性质：如果函数 $u = g(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，且函数 $y = f(u)$ 在点 $u_0 = g(x_0)$ 处连续，则复合函数 $y = f[g(x)]$ 在点 $x_0$ 处连续。
反函数性质：如果函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上单调且连续，则其反函数 $x = f^{-1}(y)$ 也在对应的区间上单调且连续。

5.6 初等函数的连续性

重要结论

所有基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等）在其定义域内都是连续的。

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的初等函数，在其定义区间内都是连续的。

5.7 间断点的分类

第一类间断点（可去间断点）

如果 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，但不等于 $f(x_0)$ 或者 $f(x_0)$ 无定义，则称 $x_0$ 为可去间断点。

第二类间断点

如果 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 不存在，则称 $x_0$ 为第二类间断点。

5.8 例题分析

例题1

讨论函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1 \\ x+1, & x > 1 \end{cases}$ 在点 $x = 1$ 处的连续性。

解：

计算函数值： $f(1) = 1^2 = 1$
计算左极限： $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$
计算右极限： $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x+1) = 2$
因为左极限 $\neq$ 右极限，所以极限不存在。

结论：函数在 $x = 1$ 处不连续，这是一个跳跃间断点（属于第一类间断点）。

例题2

讨论函数 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 在点 $x = 0$ 处的连续性。

解：

函数在 $x = 0$ 处无定义
计算极限： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ （重要极限）
极限存在但函数无定义

结论： $x = 0$ 是一个可去间断点。如果补充定义 $f(0) = 1$ ，则函数在 $x = 0$ 处连续。函数 fx 在点 x0处，连续

第一讲 极限和连续

1. 数列极限的定义

2. 极限的四则运算

3. 无穷等比数列的各项和

4. 两个重要极限

5. 函数的连续性

5.1 连续性的三个条件

5.2 增量形式定义

5.3 单侧连续性

5.4 区间上的连续性

5.5 连续函数的性质

5.6 初等函数的连续性

5.7 间断点的分类

5.8 例题分析